Вам не форма нужна, а скрипт, который обработает данные, полученные из формы. Попробуйте phpmailer - работает безотказно.
По второй части вопроса: а почему нет? При сабмите формы данные отправляются скрипту, указанному в action, для дальнейшей обработки. А в этом скрипте можете делать с ними все, что угодно: отправить на почту, записать в базу данных, вывести пользователю страницу с этими данными (в т.ч. и внутри формы).