Во-первых, функции тут не нужны абсолютно.
Во-вторых, самое важное - это понять, что РНР находится на сервере, а форма - на компьютере у клиента.
В частности, из этого понимания будет следовать, что проверять нажатие кнопок надо не после вывода формы, а ДО.
Обработать переданные из формы данные опять же в разных скриптах не удастся. Вообще я теряюсь в догадках по поводу того, что ты имел в виду под словами "обработка должна идти ( по замыслу ) в другой форме".
В формах ничего не обрабатывается, во всяком случае, на РНР.